arctan 関係式一覧 松元隆二 (matumoto@pluto.ai.kyutech.ac.jp) 1996/05/08 1998/12/03 データ追加 2000/3/23 データ追加 1. はじめに． 円周率の計算に使われている公式の一種に三角関数のarctanを使っている式が あります． 有名な式では，次のマチンの公式があります． pi/4 = arctan(1) = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) このようなarctanを使った式は，無限にあります． 今回私は条件を絞って， 計算機を使い以上のようなarctanの関係式を探索しました．探索方法は文献 [1]を参考にしました． 1.1. 日付が1996年分のデータについて 二つの方法で探索を行ないました． 一つ目は，共通の素数を目印にして探索する方法です．``共通の素数''の意味 については，文献[1]を参考にしてください． -共通の素数の数が1個から4個まで -arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X <= 1,000,000 -素数の範囲は最大1000まで -arctan(1/X)の項数は4項まで を対象とし， -計算機は Sun micro systems 社製 SparcStation20/SunOS4.1.3JLE -言語は Swedish Institute of Computer Science 製 SICStus Prolog 2.1 を使い1時間13分かけて探索しました． 二つ目は，連鎖探索法です． この方法も同様に文献[1]を御覧ください． -計算機は Sun micro systems 社製 SparcStation20/SunOS4.1.3JLE -言語は Swedish Institute of Computer Science 製 SICStus Prolog 2.1 を使い約4時間かけて探索しました． 1.2. 日付が1997〜8年分のデータについて 1996年に使ったプログラムをPrologからC++に移植し、再探索を行ないました。 方法は共通の素数を目印にして探索する方法です． 探索時のデータですが、長期に渡り、断続的に探索を行なったためデータは残っ ていません。計算機環境は以下の通りです。 -計算機は TowTopショップブランド,PentiumPro200Mhz,Memory128MByte -OSは Linux Slackware3.2 および FreeBSD-2.2.1 -言語は GNU C++ 2.7.1 2項式・3項式については新たな追加はありません。4項式については、198個追 加しました。別ファイルの5項式については、25688個追加しました。 1.3. 日付が2000年分のデータについて 前項1.2とほぼ同じプログラムを使い、次の二つの条件で探索を行なっていま す。共通の素数を目印にして探索する方法です． 条件1: -共通の素数の数が1個から3個まで -arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32 -素数の範囲は最大10000まで -arctan(1/X)の項数は4項まで という条件で - RedHat5.2J Rel2 + Linux-2.2.14 - Gateway2000 G7-450 (PentiumIII 450Mhz, Mem128Mbyte) を使い、約30分をかけて検索。 条件2: -共通の素数の数が1個から5個まで -arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32 -素数の範囲は最大1000まで -arctan(1/X)の項数は6項まで という条件で - Solaris 2.6 - Sun Ultra Enterprise 450 (UltraSPARC-II 400Mhz x4, Mem3Gbyte) をSingle CPUで使い、約15時間をかけて検索。 条件3: -共通の素数の数が1個から3個まで -arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32 -素数の範囲は最大65521まで -arctan(1/X)の項数は4項まで という条件で「条件2」と同じ計算機環境で、10日9時間37分24秒をかけて検索。 但し、条件1,3で使用した素因数分解の表は、作成にかなりの時間がかかって います。次の計算機環境 - RedHat5.2J Rel2 + Linux-2.2.14 - Dell Precision 210 (PentiumIII 700Mhz x2 , Mem512Mbyte) をSingle CPUで使い、約半月かかっています。(途中で複数台での計算に切り 替えたので、正確な時間不明。) 計算結果: 上記の条件1,2の検索で、 新しい4項式を177個、 新しい5項式を53,562個、 6項式を6,341,821個得ています。上記の条件3の検索で、新しい4項式を99個 得てます。 2. 最近のarctan関係式の話題 猪口和則さんにより「πの公式をデザインする」が出版されました[2]。この 書籍は、文献[1]による所の「連鎖探索法」を追求した本です。120ページを使っ てarctan関係式の様々な変形方法が述べられてます。 次に、雑誌「数学セミナー」1998年3月号の読者参加コーナの「エレガントな 解答をもとむ」で[3]、arctan関係式の2項式は既知の4個しか存在しない事を 証明する課題が出されました。6月号で東京商船大学の中村滋先生により解答 の解説が行なわれました。 3. 参考文献 [1] 高野喜久雄: 「πのarctangent relations を求めて」, bit 1983年4月号. [2] 猪口和則: 「πの公式をデザインする」, 新風舎, 1998, 1400円, ISBN4-7974-0493-0. (自費出版のようです。通常の流通では注文に時間 がかかるようです。出版社へ直接問い合わせる事をお勧めします。) [3] 数学セミナー: 「エレガントな解答をもとむ」, 出題1998年3月号, 解答 1998年6月号. 4. arctan関係式一覧 以下の表が、1996〜2000年にかけて得た結果に既知のarctan関係式を加えて表 にしたものです． 発見者および発見年は文献[1]に頼っています． それ以外の式は，取り敢えず 私松元を発見者にしてありますが，すでに発見された式の場合は，私に御連絡 ください． 書き換えます． 略号の説明をします． - arctan(1/X) を a(1/X)と略記しています． - `n': arctan(1/X)をテーラー級数で計算した場合，10000桁の精度を得 るために必要な級数の項数は 5000/log10(X) であらわせます．この項 数を各arctanについて合計した値です．値が小さいほど速く円周率の計 算が出来ます． - `K': (pi/4)をK倍した値がその行の式と等式になります． - PrimeList: 共通の素数 2,3項式は、既知の全公式を掲載しています。4,5,6項式は、既知の公式の中で、 `n'が上位10位と下位10位の公式を掲載しています。 Arctan 項数 = 2, 全4個 -------------------------------------------------- n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year. -------------------------------------------------- 9256, 1, +4a(1/5)-a(1/239)., [13], J.Machin, 1706. 16396, 1, +2a(1/3)+a(1/7)., [5], C.Hutton, 1776. 22526, 1, +2a(1/2)-a(1/7)., [5], J.Hermann, 1706. 27089, 1, +a(1/2)+a(1/3)., [5], L.Euler, 1738. -------------------------------------------------- Arctan 項数 = 3, 105個 ------------------------------------------------------------------------------ n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year. ------------------------------------------------------------------------------ 8933, 1, +12a(1/18)+8a(1/57)-5a(1/239)., [5,13], C.F.Gauss, 1863. 8946, 1, +8a(1/10)-a(1/239)-4a(1/515)., [13,101], S.Klingenstuerna, 1730. 9666, 1, +4a(1/5)-2a(1/478)+a(1/54608393)., [5,13,45697], F.C.M.Stormer, 1896. 10187, 1, +5a(1/7)+4a(1/53)+2a(1/4443)., [5,281], J.W.Wrench.Jr, 1938. 10305, 1, +4a(1/5)-a(1/240)-a(1/57361)., [13,57601], F.C.M.Stermer, 1896. 10309, 1, +4a(1/5)-a(1/238)+a(1/56883)., [5,13,11329], F.C.M.Stermer, 1896. 10374, 1, +4a(1/5)-a(1/241)-a(1/28800)., [13,113,257], F.C.M.Stermer, 1896. 10382, 1, +4a(1/5)-a(1/237)+a(1/28322)., [5,13,41,137], F.C.M.Stermer, 1896. 10486, 1, +6a(1/8)+2a(1/57)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 10555, 1, +4a(1/5)-2a(1/577)-a(1/1393)., [5,13,197], F.C.M.Stermer, 1896. 10599, 1, +4a(1/5)-a(1/252)-a(1/4633)., [5,13,977], F.C.M.Stermer, 1896. 10659, 1, +4a(1/5)-2a(1/408)+a(1/1393)., [5,13,197], F.C.M.Stermer, 1896. 10659, 1, +4a(1/5)-a(1/226)+a(1/4155)., [13,3929], F.C.M.Stermer, 1896. 10693, 1, +4a(1/5)-a(1/265)-a(1/2436)., [13,37,73], F.C.M.Stermer, 1896. 10820, 1, +4a(1/5)-a(1/213)+a(1/1958)., [5,13,349], F.C.M.Stermer, 1896. 10866, 1, +6a(1/7)-4a(1/57)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 10879, 1, +4a(1/5)-a(1/408)-a(1/577)., [5,13,197], F.C.M.Stermer, 1896. 10959, 1, +5a(1/7)+2a(1/26)-2a(1/2057)., [5,677], F.C.M.Stermer, 1896. 11061, 1, +5a(1/7)+2a(1/27)+2a(1/1068)., [5,73], F.C.M.Stermer, 1896. 11063, 1, +5a(1/7)+4a(1/68)+2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 11261, 1, +5a(1/7)+2a(1/28)+2a(1/443)., [5,157], F.C.M.Stermer, 1896. 11395, 1, +5a(1/7)+4a(1/43)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 11572, 1, +5a(1/6)-a(1/68)-3a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 11622, 1, +8a(1/8)-4a(1/18)+3a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 11706, 1, +5a(1/7)+2a(1/43)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 11801, 1, +5a(1/7)+2a(1/23)-2a(1/182)., [5,53], F.C.M.Stermer, 1896. 11880, 1, +4a(1/6)+4a(1/31)-a(1/239)., [13,37], F.C.M.Stermer, 1896. 11904, 1, +5a(1/6)-a(1/43)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 12002, 1, +4a(1/7)+4a(1/18)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 12215, 1, +5a(1/6)-3a(1/43)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 12367, 1, +5a(1/8)+2a(1/18)+3a(1/57)., [5,13], K.H.Schellbach, 1832. 12369, 1, +4a(1/5)-a(1/70)+a(1/99)., [13,29], L.Euler, 1764. 12482, 1, +3a(1/7)+4a(1/11)-2a(1/682)., [5,61], F.C.M.Stermer, 1896. 12747, 1, +5a(1/7)+2a(1/18)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 12759, 1, +4a(1/5)-a(1/41)+2a(1/99)., [13,29], F.C.M.Stermer, 1896. 12963, 1, +4a(1/5)+a(1/41)-2a(1/70)., [13,29], F.C.M.Stermer, 1896. 13555, 1, +2a(1/7)+4a(1/8)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 13570, 1, +3a(1/7)+4a(1/13)+2a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 13664, 1, +3a(1/4)+a(1/20)+a(1/1985)., [17,401], S.L.Loney, 1893. 13984, 1, +5a(1/5)-3a(1/18)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 14189, 1, +4a(1/4)-4a(1/21)-a(1/239)., [13,17], F.C.M.Stermer, 1896. 14750, 2, +5a(1/3)-2a(1/53)-a(1/4443)., [5,281], 松元隆二, 1996. 14760, 1, +4a(1/6)+a(1/7)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 15070, 1, +2a(1/6)+3a(1/7)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 15429, 5, +12a(1/3)+4a(1/57)-a(1/239)., [5,13], 松元隆二, 1996. 15436, 1, +3a(1/7)+2a(1/8)+2a(1/18)., [5,13], K.H.Schellbach, 1832. 15522, 2, +5a(1/3)-a(1/26)+a(1/2057)., [5,677], 松元隆二, 1996. 15538, 1, +2a(1/5)+3a(1/8)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 15624, 2, +5a(1/3)-a(1/27)-a(1/1068)., [5,73], 松元隆二, 1996. 15626, 2, +5a(1/3)-2a(1/68)-a(1/117)., [5,37], 松元隆二, 1996. 15824, 2, +5a(1/3)-a(1/28)-a(1/443)., [5,157], 松元隆二, 1996. 15917, 1, +2a(1/5)+3a(1/7)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 15958, 1, +3a(1/4)+a(1/13)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 15958, 2, +5a(1/3)-2a(1/43)+a(1/117)., [5,37], 松元隆二, 1996. 16269, 2, +5a(1/3)-a(1/43)-a(1/68)., [5,37], 松元隆二, 1996. 16364, 2, +5a(1/3)-a(1/23)+a(1/182)., [5,53], 松元隆二, 1996. 16432, 1, +2a(1/3)+2a(1/14)-a(1/1393)., [5,197], F.C.M.Stermer, 1896. 16565, 3, +8a(1/3)-4a(1/18)+a(1/239)., [5,13], 松元隆二, 1996. 16673, 1, +3a(1/5)+2a(1/8)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 17045, 1, +3a(1/3)-2a(1/11)+a(1/682)., [5,61], J.W.Wrench,Jr., 1938. 17310, 2, +5a(1/3)-a(1/18)+a(1/57)., [5,13], 松元隆二, 1996. 17386, 1, +4a(1/4)-a(1/7)-2a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 17643, 1, +2a(1/3)+2a(1/17)+a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 18118, 1, +4a(1/3)-4a(1/8)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 18133, 1, +3a(1/3)-2a(1/13)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 18213, 1, +2a(1/3)+2a(1/12)-a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 18606, 1, +2a(1/5)+a(1/7)+2a(1/8)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 18710, 1, +2a(1/4)+a(1/7)+2a(1/13)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 18864, 1, +2a(1/3)+a(1/8)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 19041, 1, +2a(1/3)+a(1/9)+a(1/32)., [5,41], F.C.M.Stermer, 1896. 19176, 1, +2a(1/3)+a(1/12)+a(1/17)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 19634, 1, +3a(1/3)-a(1/6)-a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 19966, 1, +2a(1/3)+a(1/6)-a(1/43)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 19999, 1, +3a(1/3)-a(1/8)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 20480, 1, +3a(1/3)-a(1/5)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 20880, 3, +5a(1/2)+2a(1/53)+a(1/4443)., [5,281], 松元隆二, 1996. 21559, 7, +12a(1/2)-4a(1/57)+a(1/239)., [5,13], 松元隆二, 1996. 21616, 1, +2a(1/3)+a(1/5)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 21652, 3, +5a(1/2)+a(1/26)-a(1/2057)., [5,677], 松元隆二, 1996. 21754, 3, +5a(1/2)+a(1/27)+a(1/1068)., [5,73], 松元隆二, 1996. 21756, 3, +5a(1/2)+2a(1/68)+a(1/117)., [5,37], 松元隆二, 1996. 21949, 1, +a(1/3)+2a(1/4)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. 21954, 3, +5a(1/2)+a(1/28)+a(1/443)., [5,157], 松元隆二, 1996. 22088, 3, +5a(1/2)+2a(1/43)-a(1/117)., [5,37], 松元隆二, 1996. 22399, 3, +5a(1/2)+a(1/43)+a(1/68)., [5,37], 松元隆二, 1996. 22494, 3, +5a(1/2)+a(1/23)-a(1/182)., [5,53], 松元隆二, 1996. 22563, 1, +2a(1/2)-2a(1/14)+a(1/1393)., [5,197], F.C.M.Stermer, 1896. 22695, 5, +8a(1/2)+4a(1/18)-a(1/239)., [5,13], 松元隆二, 1996. 23175, 2, +3a(1/2)+2a(1/11)-a(1/682)., [5,61], 松元隆二, 1996. 23440, 3, +5a(1/2)+a(1/18)-a(1/57)., [5,13], 松元隆二, 1996. 23773, 1, +2a(1/2)-2a(1/17)-a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 24248, 3, +4a(1/2)+4a(1/8)+a(1/239)., [5,13], 松元隆二, 1996. 24263, 2, +3a(1/2)+2a(1/13)+a(1/38)., [5,17], 松元隆二, 1996. 24343, 1, +2a(1/2)-2a(1/12)+a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 24994, 1, +2a(1/2)-a(1/8)-a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 25171, 1, +2a(1/2)-a(1/9)-a(1/32)., [5,41], F.C.M.Stermer, 1896. 25306, 1, +2a(1/2)-a(1/12)-a(1/17)., [5,29], F.C.M.Stermer, 1896. 25453, 1, +a(1/2)+2a(1/6)-a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 25764, 2, +3a(1/2)+a(1/6)+a(1/68)., [5,37], 松元隆二, 1996. 26096, 1, +2a(1/2)-a(1/6)+a(1/43)., [5,37], F.C.M.Stermer, 1896. 26129, 2, +3a(1/2)+a(1/8)+a(1/18)., [5,13], 松元隆二, 1996. 26611, 2, +3a(1/2)+a(1/5)-a(1/57)., [5,13], 松元隆二, 1996. 27746, 1, +2a(1/2)-a(1/5)+a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stermer, 1896. 29300, 1, +a(1/2)+a(1/5)+a(1/8)., [5,13], L.K.Schulz von Strassnitzkey, 1844. 29403, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/13)., [5,17], F.C.M.Stermer, 1896. --------------------------------------------------------------------------------------------- Arctan 項数 = 4, 3964個 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7930, 1, +44a(1/57)+7a(1/239)-12a(1/682)+24a(1/12943)., [5,13,61], F.C.M.Stermer, 1896. 8172, 1, +22a(1/28)+2a(1/443)-5a(1/1393)-10a(1/11018)., [5,157,197], E.B.Escott, 1896. 8554, 1, +17a(1/23)+8a(1/182)+10a(1/5118)+5a(1/6072)., [5,53,373], 松元隆二, 1996. 8900, 1, +12a(1/49)+32a(1/57)-5a(1/239)+12a(1/110443)., [5,13,1201], 高野喜久雄, 1982. 8982, 1, +16a(1/21)+3a(1/239)+4a(1/343)-4a(1/27493)., [5,13,17,181], 松元隆二, 1996. 9000, 1, +16a(1/21)+3a(1/239)+4a(1/353)+4a(1/21637)., [5,13,17,733], 松元隆二, 1996. 9066, 3, +44a(1/18)-23a(1/239)+8a(1/682)-16a(1/12943)., [5,13,61], 松元隆二, 1996. 9067, 1, +17a(1/22)+3a(1/172)-2a(1/682)-7a(1/5357)., [5,61,97], 柴田昭彦, 1982. 9079, 1, +11a(1/14)+2a(1/443)-5a(1/1393)+a(1/11018)., [5,157,197], 松元隆二, 1996. 9106, 1, +16a(1/21)+7a(1/239)-4a(1/616)+4a(1/3141)., [13,17,101], 高野喜久雄, 1982. --- omit. --- 31941, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/10)+a(1/293)., [5,17,101], 松元隆二, 1996. 31971, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/23)+a(1/30)., [5,17,53], 松元隆二, 1996. 32033, 1, +a(1/2)+a(1/5)+a(1/13)+a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996. 32408, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/11)-a(1/72)., [5,17,61], 松元隆二, 1996. 32512, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/9)-a(1/132)., [5,17,41], 松元隆二, 1996. 32679, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/18)+a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996. 33328, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/6)-a(1/327)., [5,17,37], 松元隆二, 1996. 33441, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/8)-a(1/47)., [5,13,17], 松元隆二, 1996. 34127, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+2a(1/5)+a(1/268)., [5,13,17], 松元隆二, 1996. 34233, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/8)-a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arctan 項数 = 5, 182723個 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8268, 1, +44a(1/109)+95a(1/239)-12a(1/682)+24a(1/12943)-44a(1/6826318)., [5,13,61,457], 松元隆二, 1997. 8365, 1, +88a(1/114)+7a(1/239)-12a(1/682)+24a(1/12943)-44a(1/740943)., [5,13,41,61,317], 松元隆二, 2000. 8371, 1, +76a(1/114)+7a(1/239)+24a(1/268)-12a(1/247057)-32a(1/740943)., [5,13,17,41,317], 松元隆二, 2000. 8402, 1, +61a(1/72)-29a(1/682)-27a(1/1483)-7a(1/9932)-10a(1/29718)., [5,17,61,761], 松元隆二, 1996. 8584, 1, +44a(1/58)+7a(1/239)-4a(1/3307)-12a(1/12238)-24a(1/97643)., [5,13,421,673], 松元隆二, 1996. 8596, 1, +44a(1/57)+7a(1/239)-48a(1/3307)-12a(1/12238)-24a(1/97643)., [5,13,421,673], 松元隆二, 1996. 8610, 1, +19a(1/24)-4a(1/882)-9a(1/6948)+a(1/43691)-a(1/308142)., [5,29,37,577,829], 松元隆二, 2000. 8620, 1, +44a(1/57)+7a(1/239)-24a(1/1432)+12a(1/12238)+24a(1/628103)., [5,13,17,193,421], 松元隆二, 2000. 8660, 1, +88a(1/172)+51a(1/239)+32a(1/682)+44a(1/5357)+68a(1/12943)., [5,13,61,97], 松元隆二, 1996. 8661, 2, +61a(1/38)-17a(1/463)+6a(1/2682)+3a(1/8827)+17a(1/390112)., [5,13,17,97,677], 松元隆二, 2000. --- omit. --- 36940, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/6)-a(1/16)+a(1/2843)., [5,17,37,257], 松元隆二, 1996. 37052, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/33)-a(1/905)., [5,13,17,109], 松元隆二, 1996. 37055, 1, +2a(1/2)+a(1/4)-2a(1/5)+a(1/70)-a(1/157)., [5,13,17,29], 松元隆二, 1996. 37097, 1, +2a(1/2)-a(1/5)+a(1/6)-a(1/9)+a(1/993)., [5,13,37,41], 松元隆二, 1996. 37409, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/31)-a(1/327)., [5,13,17,37], 松元隆二, 1996. 37420, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/6)-a(1/17)-a(1/302)., [5,17,29,37], 松元隆二, 1996. 37550, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/30)-a(1/242)., [5,13,17,53], 松元隆二, 1996. 37789, 2, +3a(1/2)+a(1/4)-a(1/6)+a(1/10)+a(1/2818)., [5,17,37,101], 松元隆二, 1996. 38034, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/6)-a(1/11)+a(1/438)., [5,17,37,61], 松元隆二, 1996. 38165, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/6)-a(1/12)-a(1/191)., [5,17,29,37], 松元隆二, 1996. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arctan 項数 = 6, 6341821個 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8228, 1, +227a(1/239)-156a(1/2072)-276a(1/2943)+200a(1/11389)-212a(1/16432)+100a(1/3970923)., [5,13,41,257,941], 松元隆二, 2000. 8319, 1, +322a(1/577)+76a(1/682)+139a(1/1393)+156a(1/12943)+132a(1/32807)+44a(1/1049433)., [5,13,61,89,197], 松元隆二, 2000. 8398, 1, +127a(1/239)+188a(1/515)-120a(1/1068)+88a(1/41218)-144a(1/173932)+88a(1/3539232)., [5,13,73,101,709], 松元隆二, 2000. 8424, 1, +322a(1/408)+76a(1/682)-183a(1/1393)+156a(1/12943)+132a(1/32807)+44a(1/1049433)., [5,13,61,89,197], 松元隆二, 2000. 8486, 1, +127a(1/192)+61a(1/515)+7a(1/1068)-39a(1/41218)-17a(1/173932)-39a(1/3539232)., [5,13,73,101,709], 松元隆二, 2000. 8536, 1, +127a(1/239)+188a(1/515)-120a(1/1068)+88a(1/37057)-144a(1/173932)-88a(1/409557)., [5,13,73,101,149], 松元隆二, 2000. 8538, 1, +139a(1/239)+120a(1/682)+132a(1/5357)-88a(1/5604)+244a(1/12943)+176a(1/2544482)., [5,13,61,97,569], 松元隆二, 2000. 8611, 1, +161a(1/239)+76a(1/682)-22a(1/1393)+156a(1/12943)+132a(1/32807)+44a(1/1049433)., [5,13,61,89,197], 松元隆二, 2000. 8620, 1, +161a(1/233)+76a(1/682)-22a(1/1393)-5a(1/12943)-29a(1/32807)+44a(1/1049433)., [5,13,61,89,197], 松元隆二, 2000. 8622, 1, +127a(1/193)+61a(1/515)+7a(1/1068)+88a(1/37057)-17a(1/173932)+39a(1/409557)., [5,13,73,101,149], 松元隆二, 2000. --- omit. --- 42520, 2, +4a(1/2)-a(1/4)-a(1/5)+a(1/6)-a(1/302)-a(1/307)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. 42626, 1, +a(1/2)-a(1/4)+2a(1/5)+a(1/6)+a(1/123)-a(1/746)., [5,13,17,37,89], 松元隆二, 2000. 42681, 3, +5a(1/2)+a(1/4)-a(1/6)+a(1/8)-2a(1/12)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. 42696, 1, +3a(1/2)-a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)+a(1/191)-a(1/307)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. 42765, 1, +2a(1/2)+a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)-a(1/41)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. 43015, 1, +a(1/2)-a(1/4)+2a(1/5)+a(1/6)+a(1/99)-a(1/302)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. 43355, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)+a(1/6)+a(1/28)+a(1/3583)., [5,13,17,37,157], 松元隆二, 2000. 43453, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)+a(1/9)+a(1/11)-a(1/5257)., [5,13,17,41,61], 松元隆二, 2000. 43849, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)-a(1/6)+a(1/23)+a(1/931)., [5,13,17,37,53], 松元隆二, 2000. 44298, 2, +4a(1/2)+a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)-2a(1/12)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 以上。