arctan 関係式一覧

松元隆二
(matsumoto(AT)tech-i.kyutech.ac.jp)
1996/05/08
1998/12/03 データ追加
2000/3/23 データ追加
2014/11/20 データ修正および追加、文字コードをUTF-8に変更
2015/1/14 データ追加
　 2016/11/3 データ更新/ファイル形式をtxtからhtmlへ変更

0. 目次

1. はじめに。
1.1. 日付が1996年分のデータについて
1.2. 日付が1997〜8年分のデータについて
1.3. 日付が2000年分のデータについて
1.4. 日付が2014年分のデータについて
1.5. 日付が2015年分のデータについて
1.6. 日付が2016年分のデータについて
2. arctan関係式の話題
3. arctan関係式一覧
3.1. 略号の説明
3.2. Arctan 項数 = 2
3.3. Arctan 項数 = 3
3.4. Arctan 項数 = 4
3.5. Arctan 項数 = 5
3.6. Arctan 項数 = 6
3.7. 項数限定無し
3.8. Kが大きい式
3.9. 整数の逆数以外を含む式(Arctan 項数 <= 4)
4. 参考文献

1. はじめに．

円周率の計算に使われている公式の一種に三角関数のarctanを使っている式があります．有名な式では，次のマチンの公式があります．

pi/4 = arctan(1) = 4arctan(1/5) - arctan(1/239)

このようなarctanを使った式は，無限にあります．今回私は条件を絞って，計算機を使い以上のようなarctanの関係式を探索しました．探索方法は文献 [1]を参考にしました．また2011年以降の探索では[4,5,7]を参考にしています。2016年以降の探索では[12]を参考にしています。

1.1. 日付が1996年分のデータについて

二つの方法で探索を行ないました．

一つ目は，共通の素数を目印にして探索する方法です．``共通の素数''の意味については，文献[1]を参考にしてください．

-共通の素数の数が1個から4個まで
-arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X <= 1,000,000
-素数の範囲は最大1000まで
-arctan(1/X)の項数は4項まで

を対象とし，

-計算機は Sun micro systems 社製 SparcStation20/SunOS4.1.3JLE
-言語は Swedish Institute of Computer Science 製 SICStus Prolog 2.1

を使い1時間13分かけて探索しました．

二つ目は，連鎖探索法です．この方法も同様に文献[1]を御覧ください．

-計算機は Sun micro systems 社製 SparcStation20/SunOS4.1.3JLE
-言語は Swedish Institute of Computer Science 製 SICStus Prolog 2.1

を使い約4時間かけて探索しました．

1.2. 日付が1997〜8年分のデータについて

1996年に使ったプログラムをPrologからC++に移植し、再探索を行ないました。方法は共通の素数を目印にして探索する方法です．

探索時のデータですが、長期に渡り、断続的に探索を行なったためデータは残っていません。計算機環境は以下の通りです。

-計算機は TowTopショップブランド,PentiumPro200Mhz,Memory128MByte
-OSは Linux Slackware3.2 および FreeBSD-2.2.1
-言語は GNU C++ 2.7.1

2項式・3項式については新たな追加はありません。4項式については、198個追加しました。別ファイルの5項式については、25688個追加しました。

1.3. 日付が2000年分のデータについて

前項1.2とほぼ同じプログラムを使い、次の二つの条件で探索を行なっています。共通の素数を目印にして探索する方法です．

条件1:
-共通の素数の数が1個から3個まで
-arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32
-素数の範囲は最大10000まで
-arctan(1/X)の項数は4項まで

という条件で

- RedHat5.2J Rel2 + Linux-2.2.14
- Gateway2000 G7-450 (PentiumIII 450Mhz, Mem128Mbyte)

を使い、約30分をかけて探索。

条件2:
-共通の素数の数が1個から5個まで
-arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32
-素数の範囲は最大1000まで
-arctan(1/X)の項数は6項まで

という条件で

- Solaris 2.6
- Sun Ultra Enterprise 450 (UltraSPARC-II 400Mhz x4, Mem3Gbyte)

をSingle CPUで使い、約15時間をかけて探索。

条件3:
-共通の素数の数が1個から3個まで
-arctan(1/X)のXの範囲は 2 <= X < 2^32
-素数の範囲は最大65521まで
-arctan(1/X)の項数は4項まで

という条件で「条件2」と同じ計算機環境で、10日9時間37分24秒をかけて探索。

但し、条件1,3で使用した素因数分解の表は、作成にかなりの時間がかかっています。次の計算機環境

- RedHat5.2J Rel2 + Linux-2.2.14
- Dell Precision 210 (PentiumIII 700Mhz x2 , Mem512Mbyte)

をSingle CPUで使い、約半月かかっています。(途中で複数台での計算に切り替えたので、正確な時間不明。)

計算結果:
上記の条件1,2の探索で、新しい4項式を177個、新しい5項式を53,562個、 6項式を6,341,821個得ています。上記の条件3の探索で、新しい4項式を99個得てます。

1.4. 日付が2014年分のデータについて

久々に更新を行いました。1997年頃の探索に用いたプログラムはC++の文法変更により最近のコンパイラで動かなくなり新規作成する必要があり、放置ぎみでしたが2011年頃に再作成を行いました。2011年頃から暇を見つけて実行した結果を今回掲載しています。情報の整理が悪く、細かい計算時間などの情報は残っていません。一部データは10,000,000(10M)以下の素数を探索を含んでいます。

また別表として掲載していた既知の公式の4,5,6項の全データも更新を行っています。今回のデータからは発見者の欄を削除しています。4,5,6項すべてに新公式を多数含んでいます。

1.5. 日付が2015年分のデータについて

久しく連鎖探索法を用いていませんでしたが、2014年12月頃よりperlで作成したプログラムで再度実行したところ新規に6項の式が大量にみつかりました。ファイルサイズが大きくなりすぎたため、別掲載の各項毎の全リストはデータ形式を変更しています。

1.6. 日付が2016年分のデータについて

連鎖探索法を用いて探索しています。手法としては文献[12]で述べられている以下の式を基に探索しました。

arctan(m/n)=arctan(1/x)+arctan(1/y) <-> (mx-n)(my-n)=m^2+n^2

別表として掲載している公式すべてに更新を行っています．特に6項式の表は前回2015年の更新では1.3億個でしたが今回4.8億個になっています。(6項式は計算機資源の制限でしきい値を設けて処理しています．まだありそうです．)

ソフトウエア環境としては

- OS: CentOS7.x/64bit
- gcc/g++
- Pari/GP 2.7.x
- BerkeleyDB

などを用いています．

公式の立式や検証などにPari/GPを用いています．

連鎖探索法では公式が重複生成されるため，データベース(BerkeleyDB)に入れて重複を除去しています．かなりデータベースのファイルが大きくなりましたのでSSDを増設したり，データベースに入れる公式を公式そのままではなく MD5-hash化して収納するデータを減らす工夫をしています．

次に整数の逆数以外を含む式の探索を，共通の素数を目印にして探索する方法で行いましたが，本表に含まれる公式には更新はありません。別表のみの更新になっています．

2. arctan関係式の話題

猪口和則さんにより1998年に「πの公式をデザインする」が出版されました [2]。この書籍は、文献[1]による所の「連鎖探索法」を追求した本です。120ページを使ってarctan関係式の様々な変形方法が述べられてます。

次に、雑誌「数学セミナー」1998年3月号の読者参加コーナの「エレガントな解答をもとむ」で[3]、arctan関係式の2項式は既知の4個しか存在しない事を証明する課題が出されました。6月号で東京商船大学の中村滋先生により解答の解説が行なわれました。

次に、2002年に東大と日立のグループにより円周率1.2兆桁の計算が行われ当時の記録更新が行われましたが、計算公式として、高野喜久雄さんが発見した以下のarctan関係式が用いられました。

pi/4 = +12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443).

なお、発見者の、高野さんは、2006年に逝去されています。

3. arctan関係式一覧

以下の表が、1996〜2015年にかけて得た結果に既知のarctan関係式を加えて表にしたものです．探索条件は後述の「1. はじめに」を参照ください。

発見者および発見年は文献[1]に頼っています．それ以外の式は，取り敢えず私松元を発見者にしてありますが，すでに発見された式の場合は，私に御連絡ください．書き換えます．

2014年加筆: 今世紀に入り、Webなどの情報元が充実してきました。今回文献 [6,9]を参照して発見者の大幅修正を行っています。本表の旧版で松元が発見者となっていた公式は多くを修正しています。表のmemoに(Add2014), (Edit2014)の記載がある分については追加および発見者を修正した分です。発見者が松元で日付が2014年の分については新規に発見したものです。

2015/1/12加筆: 6項式を大量に追加した影響で、ファイルサイズが大きくなりすぎました。全リストはファイル形式を修正しています。

2016/10/31加筆: 松元が新規発見した公式を追加。清宮さんの文献[12]に挙げられている公式を追加。

3.1. 略号の説明

略号の説明をします．

arctan(1/X) を a(1/X)と略記しています．
`n': arctan(1/X)をテーラー級数で計算した場合，10000桁の精度を得るために必要な級数の項数は 5000/log10(X) であらわせます．この項数を各arctanについて合計した値です．値が小さいほど速く円周率の計算が出来ます．
`K': (pi/4)をK倍した値がその行の式と等式になります．
PrimeList: 共通の素数. 詳細は文献[1]を参照ください。arctan関係式は X^2+1を素因数分解すると共通の素数が現れるという顕著な性質があります。出現する素数で2以外を掲載しています。

Example:

> --------------------------------------------------------------------------------
> n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
> --------------------------------------------------------------------------------
> 15429, 5, +12a(1/3)+4a(1/57)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).

上記はF.C.M.Stoermerさんが1896年に発見した公式。(本表の発見者を2014年に書き換え)

(Pi/4) * 5 = 12 arctan(1/3) + 4 arctan(1/57) - arctan(1/239).
n = 5000/log10(3) + 5000/log(57) + 5000/(239) = 15429.35519... = 15429

3^2+1 = 2*5,   57^2+1 = 2*5^3*13,  239^2+1 = 2 * 13^4
共通に現れる素数は2,5,13であり、2を除外して
                                                              = [5,13]

という意味です。

表で2,3項式は、既知の全公式を掲載しています。4,5,6項式は、既知の公式の中で、 `n'が上位10位と下位10位の公式を掲載しています。

3.2. Arctan 項数 = 2

個数: 全4個

履歴:

2014/11/14: (Edit2014)発見者修正,
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/id23t.html

--------------------------------------------------
n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
--------------------------------------------------
9256, 1, +4a(1/5)-a(1/239)., [13], J.Machin, 1706.
16396, 1, +2a(1/3)+a(1/7)., [5], J.Machin, 1706, (Edit2014).
22526, 1, +2a(1/2)-a(1/7)., [5], J.Hermann, 1706.
27089, 1, +a(1/2)+a(1/3)., [5], J.Machin, 1706, (Edit2014).
--------------------------------------------------

3.3. Arctan 項数 = 3

個数: 105個

履歴:

2014/11/14: (Edit2014)発見者修正
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/id23t.html
2015/1/12: StermerさんのスペルはStoermerの方が適切のようですので修正しています。

--------------------------------------------------
n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
--------------------------------------------------
8933, 1, +12a(1/18)+8a(1/57)-5a(1/239)., [5,13], C.F.Gauss, 1863.
8946, 1, +8a(1/10)-a(1/239)-4a(1/515)., [13,101], Simson, 1723, (Edit2014).
9666, 1, +4a(1/5)-2a(1/478)+a(1/54608393)., [5,13,45697], F.C.M.Stormer, 1896.
10187, 1, +5a(1/7)+4a(1/53)+2a(1/4443)., [5,281], J.W.Wrench.Jr, 1938.
10305, 1, +4a(1/5)-a(1/240)-a(1/57361)., [13,57601], F.C.M.Stoermer, 1896.
10309, 1, +4a(1/5)-a(1/238)+a(1/56883)., [5,13,11329], F.C.M.Stoermer, 1896.
10374, 1, +4a(1/5)-a(1/241)-a(1/28800)., [13,113,257], F.C.M.Stoermer, 1896.
10382, 1, +4a(1/5)-a(1/237)+a(1/28322)., [5,13,41,137], F.C.M.Stoermer, 1896.
10486, 1, +6a(1/8)+2a(1/57)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
10555, 1, +4a(1/5)-2a(1/577)-a(1/1393)., [5,13,197], F.C.M.Stoermer, 1896.
10599, 1, +4a(1/5)-a(1/252)-a(1/4633)., [5,13,977], F.C.M.Stoermer, 1896.
10659, 1, +4a(1/5)-2a(1/408)+a(1/1393)., [5,13,197], F.C.M.Stoermer, 1896.
10659, 1, +4a(1/5)-a(1/226)+a(1/4155)., [13,3929], F.C.M.Stoermer, 1896.
10693, 1, +4a(1/5)-a(1/265)-a(1/2436)., [13,37,73], F.C.M.Stoermer, 1896.
10820, 1, +4a(1/5)-a(1/213)+a(1/1958)., [5,13,349], F.C.M.Stoermer, 1896.
10866, 1, +6a(1/7)-4a(1/57)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
10879, 1, +4a(1/5)-a(1/408)-a(1/577)., [5,13,197], F.C.M.Stoermer, 1896.
10959, 1, +5a(1/7)+2a(1/26)-2a(1/2057)., [5,677], L.Euler, 1779(?), (Edit2014).
11061, 1, +5a(1/7)+2a(1/27)+2a(1/1068)., [5,73], F.C.M.Stoermer, 1896.
11063, 1, +5a(1/7)+4a(1/68)+2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
11261, 1, +5a(1/7)+2a(1/28)+2a(1/443)., [5,157], F.C.M.Stoermer, 1896.
11395, 1, +5a(1/7)+4a(1/43)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
11572, 1, +5a(1/6)-a(1/68)-3a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
11622, 1, +8a(1/8)-4a(1/18)+3a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
11706, 1, +5a(1/7)+2a(1/43)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
11801, 1, +5a(1/7)+2a(1/23)-2a(1/182)., [5,53], F.C.M.Stoermer, 1896.
11880, 1, +4a(1/6)+4a(1/31)-a(1/239)., [13,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
11904, 1, +5a(1/6)-a(1/43)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
12002, 1, +4a(1/7)+4a(1/18)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
12215, 1, +5a(1/6)-3a(1/43)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
12367, 1, +5a(1/8)+2a(1/18)+3a(1/57)., [5,13], K.H.Schellbach, 1832.
12369, 1, +4a(1/5)-a(1/70)+a(1/99)., [13,29], L.Euler, 1738(or earlier), (Edit2014).
12482, 1, +3a(1/7)+4a(1/11)-2a(1/682)., [5,61], F.C.M.Stoermer, 1896.
12747, 1, +5a(1/7)+2a(1/18)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
12759, 1, +4a(1/5)-a(1/41)+2a(1/99)., [13,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
12963, 1, +4a(1/5)+a(1/41)-2a(1/70)., [13,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
13555, 1, +2a(1/7)+4a(1/8)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
13570, 1, +3a(1/7)+4a(1/13)+2a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
13664, 1, +3a(1/4)+a(1/20)+a(1/1985)., [17,401], J.Machin, 1706, (Edit2014).
13984, 1, +5a(1/5)-3a(1/18)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
14189, 1, +4a(1/4)-4a(1/21)-a(1/239)., [13,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
14750, 2, +5a(1/3)-2a(1/53)-a(1/4443)., [5,281], J.W.Wrench.Jr, 1938.
14760, 1, +4a(1/6)+a(1/7)-2a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
15070, 1, +2a(1/6)+3a(1/7)+2a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
15429, 5, +12a(1/3)+4a(1/57)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
15436, 1, +3a(1/7)+2a(1/8)+2a(1/18)., [5,13], K.H.Schellbach, 1832.
15522, 2, +5a(1/3)-a(1/26)+a(1/2057)., [5,677], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
15538, 1, +2a(1/5)+3a(1/8)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
15624, 2, +5a(1/3)-a(1/27)-a(1/1068)., [5,73], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
15626, 2, +5a(1/3)-2a(1/68)-a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
15824, 2, +5a(1/3)-a(1/28)-a(1/443)., [5,157], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
15917, 1, +2a(1/5)+3a(1/7)-2a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
15958, 1, +3a(1/4)+a(1/13)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
15958, 2, +5a(1/3)-2a(1/43)+a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
16269, 2, +5a(1/3)-a(1/43)-a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
16364, 2, +5a(1/3)-a(1/23)+a(1/182)., [5,53], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
16432, 1, +2a(1/3)+2a(1/14)-a(1/1393)., [5,197], F.C.M.Stoermer, 1896.
16565, 3, +8a(1/3)-4a(1/18)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
16673, 1, +3a(1/5)+2a(1/8)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
17045, 1, +3a(1/3)-2a(1/11)+a(1/682)., [5,61], J.W.Wrench,Jr., 1938.
17310, 2, +5a(1/3)-a(1/18)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
17386, 1, +4a(1/4)-a(1/7)-2a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
17643, 1, +2a(1/3)+2a(1/17)+a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
18118, 1, +4a(1/3)-4a(1/8)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
18133, 1, +3a(1/3)-2a(1/13)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
18213, 1, +2a(1/3)+2a(1/12)-a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
18606, 1, +2a(1/5)+a(1/7)+2a(1/8)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
18710, 1, +2a(1/4)+a(1/7)+2a(1/13)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
18864, 1, +2a(1/3)+a(1/8)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
19041, 1, +2a(1/3)+a(1/9)+a(1/32)., [5,41], F.C.M.Stoermer, 1896.
19176, 1, +2a(1/3)+a(1/12)+a(1/17)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
19634, 1, +3a(1/3)-a(1/6)-a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
19966, 1, +2a(1/3)+a(1/6)-a(1/43)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
19999, 1, +3a(1/3)-a(1/8)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
20480, 1, +3a(1/3)-a(1/5)+a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
20880, 3, +5a(1/2)+2a(1/53)+a(1/4443)., [5,281], J.W.Wrench,Jr., 1938.
21559, 7, +12a(1/2)-4a(1/57)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
21616, 1, +2a(1/3)+a(1/5)-a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
21652, 3, +5a(1/2)+a(1/26)-a(1/2057)., [5,677], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
21754, 3, +5a(1/2)+a(1/27)+a(1/1068)., [5,73], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
21756, 3, +5a(1/2)+2a(1/68)+a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
21949, 1, +a(1/3)+2a(1/4)-a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
21954, 3, +5a(1/2)+a(1/28)+a(1/443)., [5,157], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
22088, 3, +5a(1/2)+2a(1/43)-a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
22399, 3, +5a(1/2)+a(1/43)+a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
22494, 3, +5a(1/2)+a(1/23)-a(1/182)., [5,53], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
22563, 1, +2a(1/2)-2a(1/14)+a(1/1393)., [5,197], F.C.M.Stoermer, 1896.
22695, 5, +8a(1/2)+4a(1/18)-a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
23175, 2, +3a(1/2)+2a(1/11)-a(1/682)., [5,61], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
23440, 3, +5a(1/2)+a(1/18)-a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
23773, 1, +2a(1/2)-2a(1/17)-a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
24248, 3, +4a(1/2)+4a(1/8)+a(1/239)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
24263, 2, +3a(1/2)+2a(1/13)+a(1/38)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
24343, 1, +2a(1/2)-2a(1/12)+a(1/41)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
24994, 1, +2a(1/2)-a(1/8)-a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
25171, 1, +2a(1/2)-a(1/9)-a(1/32)., [5,41], F.C.M.Stoermer, 1896.
25306, 1, +2a(1/2)-a(1/12)-a(1/17)., [5,29], F.C.M.Stoermer, 1896.
25453, 1, +a(1/2)+2a(1/6)-a(1/117)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
25764, 2, +3a(1/2)+a(1/6)+a(1/68)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
26096, 1, +2a(1/2)-a(1/6)+a(1/43)., [5,37], F.C.M.Stoermer, 1896.
26129, 2, +3a(1/2)+a(1/8)+a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
26611, 2, +3a(1/2)+a(1/5)-a(1/57)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896, (Edit2014).
27746, 1, +2a(1/2)-a(1/5)+a(1/18)., [5,13], F.C.M.Stoermer, 1896.
29300, 1, +a(1/2)+a(1/5)+a(1/8)., [5,13], L.K.Schulz von Strassnitzkey, 1844.
29403, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/13)., [5,17], F.C.M.Stoermer, 1896.
--------------------------------------------------

3.4. Arctan 項数 = 4

個数: 4955個.

全リストは別表「Arctan関係式一覧: 既知の全公式」参照ください。

4項式のベスト1000個のリスト(PlainText)。

履歴:

2014/11/20: (Add2014)参考文献より追加、(Edit2014)発見者修正,
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/id4term.html
2015/1/12: StermerさんのスペルはStoermerの方が適切のようですので修正しています。
2015/1/12: 別表の全リストを更新。下記抜粋は修正無し。
2016/10/31: 別表の全リストを更新。

--------------------------------------------------
n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
--------------------------------------------------
7930, 1, +44a(1/57)+7a(1/239)-12a(1/682)+24a(1/12943)., [5,13,61], F.C.M.Stoermer, 1896.
8172, 1, +22a(1/28)+2a(1/443)-5a(1/1393)-10a(1/11018)., [5,157,197], E.B.Escott, 1896.
8554, 1, +17a(1/23)+8a(1/182)+10a(1/5118)+5a(1/6072)., [5,53,373], Arndt, 1993, (Edit2014).
8752, 1, +16a(1/21)+3a(1/239)+4a(1/347)-4a(1/361577)., [5,13,17,12041], MRW, 1980, (Add2014).
8900, 1, +12a(1/49)+32a(1/57)-5a(1/239)+12a(1/110443)., [5,13,1201], 高野喜久雄, 1982.
8982, 1, +16a(1/21)+3a(1/239)+4a(1/343)-4a(1/27493)., [5,13,17,181], 松元隆二, 1996.
9000, 1, +16a(1/21)+3a(1/239)+4a(1/353)+4a(1/21637)., [5,13,17,733], 松元隆二, 1996.
9047, 1, +12a(1/15)-a(1/239)-4a(1/433)+4a(1/1875333)., [5,13,113,18749], CASTELLANOS, 1988, (Add2014).
9066, 3, +44a(1/18)-23a(1/239)+8a(1/682)-16a(1/12943)., [5,13,61], 松元隆二, 1996.
9067, 1, +17a(1/22)+3a(1/172)-2a(1/682)-7a(1/5357)., [5,61,97], 柴田昭彦, 1982.

                       ---  omit. ---

31941, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/10)+a(1/293)., [5,17,101], 松元隆二, 1996.
31971, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/23)+a(1/30)., [5,17,53], 松元隆二, 1996.
32033, 1, +a(1/2)+a(1/5)+a(1/13)+a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996.
32408, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/11)-a(1/72)., [5,17,61], 松元隆二, 1996.
32512, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/9)-a(1/132)., [5,17,41], 松元隆二, 1996.
32679, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/18)+a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996.
33328, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/6)-a(1/327)., [5,17,37], 松元隆二, 1996.
33441, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/8)-a(1/47)., [5,13,17], 松元隆二, 1996.
34127, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+2a(1/5)+a(1/268)., [5,13,17], 松元隆二, 1996.
34233, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/8)-a(1/21)., [5,13,17], 松元隆二, 1996.
--------------------------------------------------

3.5. Arctan 項数 = 5

個数: 506232個(50万個),

全リストは別表「Arctan関係式一覧: 既知の全公式」参照ください。

5項式のベスト1000個のリスト(PlainText)。

履歴:

2014/11/20: (Add2014)参考文献より追加、(Edit2014)発見者修正,
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/FSid2d.html
2015/1/12: 別表の全リストを更新。下記抜粋は2個更新。
2016/10/31: 別表の全リストを更新。
2016/10/31: (Add2016)参考文献[12]より追加。

--------------------------------------------------
n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
--------------------------------------------------
8041, 1, +24a(1/31)+3a(1/239)-16a(1/14942)-4a(1/474193)-4a(1/7250363755)., [5,13,37,193,197,70241], 清宮宏, 2015, (Add2016). 
8061, 1, +22a(1/28)+2a(1/443)-5a(1/1112)-5a(1/8637069)+5a(1/133280317780182)., [5,41,53,157,397,247309,275393],  ASN, 2009, (Add2014).
8157, 1, +24a(1/31)+3a(1/239)-16a(1/14942)-8a(1/963375)-4a(1/30349818)., [5,13,37,109,193,3089], 松元隆二, 2014. 
8168, 1, +22a(1/28)+2a(1/443)-5a(1/1112)-5a(1/8638168)-5a(1/67922179193)., [5,157,281,247309,430921], 清宮宏, 2015, (Add2016). 
8174, 1, +44a(1/57)-5a(1/239)+12a(1/348)-12a(1/812852)+12a(1/1453603235443)., [5,13,53,181,457,730086601], HCL, 1995, (Add2014).
8211, 1, +44a(1/57)-5a(1/239)+12a(1/348)-12a(1/812857)-12a(1/145361217682)., [5,13,41,53,457,322310489], 清宮宏, 2014, (Add2016). 
8216, 1, +44a(1/57)-5a(1/239)+24a(1/693)-12a(1/73122)-12a(1/28872792057)., [5,13,17,113,1069365377], 清宮宏, 2014, (Add2016). 
8234, 1, +44a(1/57)+7a(1/239)-12a(1/682)+48a(1/25886)-24a(1/8672910142057)., [5,13,61,670084997]., 松元隆二, 2015.
8240, 1, +19a(1/24)-4a(1/882)-9a(1/6948)+a(1/50912)+a(1/983133543)., [5,29,37,421,577,42461], HCL, 2004, (Add2014).
8246, 1, +44a(1/57)-5a(1/239)+12a(1/348)-12a(1/812882)-12a(1/22363952057)., [5,13,29,53,73,97,457,9901], 清宮宏, 2014, (Add2016). 

                       ---  omit. ---

36940, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/6)-a(1/16)+a(1/2843)., [5,17,37,257], 松元隆二, 1996.
37052, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/33)-a(1/905)., [5,13,17,109], 松元隆二, 1996.
37055, 1, +2a(1/2)+a(1/4)-2a(1/5)+a(1/70)-a(1/157)., [5,13,17,29], 松元隆二, 1996.
37097, 1, +2a(1/2)-a(1/5)+a(1/6)-a(1/9)+a(1/993)., [5,13,37,41], 松元隆二, 1996.
37409, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/31)-a(1/327)., [5,13,17,37], 松元隆二, 1996.
37420, 1, +2a(1/2)-a(1/4)+a(1/6)-a(1/17)-a(1/302)., [5,17,29,37], 松元隆二, 1996.
37550, 1, +a(1/2)+2a(1/4)-a(1/5)+a(1/30)-a(1/242)., [5,13,17,53], 松元隆二, 1996.
37789, 2, +3a(1/2)+a(1/4)-a(1/6)+a(1/10)+a(1/2818)., [5,17,37,101], 松元隆二, 1996.
38034, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/6)-a(1/11)+a(1/438)., [5,17,37,61], 松元隆二, 1996.
38165, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/6)-a(1/12)-a(1/191)., [5,17,29,37], 松元隆二, 1996.
--------------------------------------------------

3.6. Arctan 項数 = 6

個数: 486550420個(4.8億個),

全リストは別表「Arctan関係式一覧: 既知の全公式」参照ください。

6項式のベスト1000個のリスト(PlainText)。

履歴:

2014/11/20: (Add2014)参考文献より追加、(Edit2014)発見者修正,
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/FSid3d.html
2015/1/12: 別表の全リストを更新。下記抜粋は上位10公式の更新。
2016/10/31: 別表の全リストを更新。
2016/10/31: (Add2016)参考文献より追加。
Ref: http://www.machination.eclipse.co.uk/software.html
2016/10/31: (Add2016)参考文献[12]より追加。下記抜粋は上位10公式更新．

--------------------------------------------------
n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
--------------------------------------------------
6646, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-68a(1/2513489)+22a(1/42483057)+34a(1/7939642926390344818)., [5,113,229,177553,3158813476561], 清宮宏, 2015, (Add2016).
6781, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/105218)-24a(1/2513489)-22a(1/7167807)+12a(1/7939642926390344818)., [5,109,113,157,229,3158813476561], M.Wetherfield, 2004(?), (Add2016).
6796, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/110443)-68a(1/2513489)+22a(1/4841182)+34a(1/7939642926390344818)., [5,13,113,229,1201,3158813476561], M.Wetherfield(?), 2004(?), (Add2016).
6820, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256744)+22a(1/42483057)+34a(1/3158812219818)., [5,13,113,229,389,177553,312320641], 清宮宏, 2015, (Add2016).
6820, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256745)+22a(1/42483057)-34a(1/3158814733307)., [5,113,229,433,1009,1129,1601,177553], 清宮宏, 2015, (Add2016).
6843, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256742)+22a(1/42483057)+34a(1/631761438568)., [5,113,229,733,177553,430941461], 松元隆二(注), 2016.
6843, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256747)+22a(1/42483057)-34a(1/631763952057)., [5,113,229,177553,157941302201], 松元隆二(注), 2016.
6870, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256732)+22a(1/42483057)+34a(1/126351282318)., [5,29,113,229,177553,2178448717], 松元隆二(注), 2016.
6870, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256757)+22a(1/42483057)-34a(1/126353795807)., [5,13,113,157,229,1297,11933,177553], 松元隆二(注), 2016.
6898, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256688)+22a(1/42483057)+34a(1/27952844818)., [5,113,229,177553,2795158813], 松元隆二(注), 2016.
6898, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-34a(1/1256801)+22a(1/42483057)-34a(1/27955358307)., [5,113,137,229,177553,51015721], 松元隆二(注), 2016.


                       ---  omit. ---

42520, 2, +4a(1/2)-a(1/4)-a(1/5)+a(1/6)-a(1/302)-a(1/307)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
42626, 1, +a(1/2)-a(1/4)+2a(1/5)+a(1/6)+a(1/123)-a(1/746)., [5,13,17,37,89], 松元隆二, 2000.
42681, 3, +5a(1/2)+a(1/4)-a(1/6)+a(1/8)-2a(1/12)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
42696, 1, +3a(1/2)-a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)+a(1/191)-a(1/307)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
42765, 1, +2a(1/2)+a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)-a(1/41)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
43015, 1, +a(1/2)-a(1/4)+2a(1/5)+a(1/6)+a(1/99)-a(1/302)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
43355, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)+a(1/6)+a(1/28)+a(1/3583)., [5,13,17,37,157], 松元隆二, 2000.
43453, 2, +2a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)+a(1/9)+a(1/11)-a(1/5257)., [5,13,17,41,61], 松元隆二, 2000.
43849, 1, +a(1/2)+a(1/4)+a(1/5)-a(1/6)+a(1/23)+a(1/931)., [5,13,17,37,53], 松元隆二, 2000.
44298, 2, +4a(1/2)+a(1/4)-a(1/5)-a(1/6)-2a(1/12)+a(1/18543)., [5,13,17,29,37], 松元隆二, 2000.
--------------------------------------------------

注: 発見者が「松元隆二(注), 2016」となっている公式は参考文献[12]に掲載の式を用いると生成可能な式のため実質的には再発見．

上記の抜粋表で下記のようにXとY部分以外の係数が同じ式が多数あるが，

  π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-X+22arctan(1/42483057)-Y

XとYを足した値はすべての式で同じになっています．

  X + Y = arctan(2/2513489)

この「arctan(2/2513489) 」は様々な分解が可能であり，参考文献にその分解が掲載されている．それを元に松元が生成した式．

3.7. Arctan項数限定無し: nが小さい式

Arctan項数を限定せずにnが小さい(速い)公式。以下のリストは項の数を限定していないため、行の先頭に項の数(t)を追加しています。

本表では、行が長いため式の一部を省略しています。省略されてない式はリンク先ののベスト1000個のリスト(PlainText)を参照ください。3.6.で掲載した6項式を再掲しています。別表は行が非常に長いファイルになっています。ブラウザやエディッタによってはクラッシュの可能性があります。

項数tを制限しない場合さらに評価値nが良い(速い)公式がありそうです[12]。

履歴:

2015/1/12: 新規作成。発見者のデータはWikipedia(参考文献[11])による。
2016/10/31: 別表の全リストを更新。
2016/10/31: (Add2016)参考文献[12]より追加。

-----------------------------------------------------
t, n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
-----------------------------------------------------
14, 5460, 1, +22a(1/28)+a(1/56547)+a(1/20747394343)+a(1/1112172624652580034840) .. ommit ..70807)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016).
9, 5839, 1, +22a(1/28)+2a(1/113093)-a(1/10812186007)-2a(1/127512137874) .. ommit ..22943)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016).
9, 5927, 1, +22a(1/28)+2a(1/113092)-2a(1/5601699965)+a(1/10812186007) .. ommit ..38932)., [ommit], 清宮宏, 2016.
6, 6646, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-68a(1/2513489)+22a(1/42483057)+34a(1/7939642926390344818)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016). 
7, 6704, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/103697)-24a(1/2513489)-44a(1/18280007883)+12a(1/7939642926390344818)+22a(1/3054211727257704725384731479018)., [ommit], M.Wetherfield, 2004.
7, 6729, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-44a(1/225443)-68a(1/2513489)+22a(1/42483057)+68a(1/15879285852780689636)-34a(1/2001994613678354896260473080240048507073548373974000280182)., [ommit], 2015, (Add2016).
7, 6743, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/103696)-24a(1/2513489)-22a(1/60932772000)+12a(1/7939642926390344818)+22a(1/11138408110872884772003)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016).
7, 6747, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/103696)-24a(1/2513489)-22a(1/60932772001)+12a(1/7939642926390344818)-22a(1/5569204055527841544002)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016).
7, 6751, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/103696)-24a(1/2513489)-22a(1/60932772002)+12a(1/7939642926390344818)-22a(1/2227681622247696280801)., [ommit], 清宮宏, 2015, (Add2016).
7, 6754, 1, +83a(1/107)+17a(1/1710)-22a(1/103696)-24a(1/2513489)-22a(1/60932771997)+12a(1/7939642926390344818)+22a(1/1113840811032448982400)., [ommit], 松元隆二, 2016.

                       ---  omit. ---

-----------------------------------------------------

3.8. Kが大きい式

項式の項数を限定せずにK ((pi/4)*K)が大きい式。

以下のリストは項の数を限定していないため、行の先頭に項の数(t)を追加しています。しかしすべて6項式ですが。

履歴:

2015/1/12: 新規作成。

-----------------------------------------------------
t, n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
-----------------------------------------------------
6, 23453, 255, +432a(1/2)-11a(1/239)+68a(1/4193)+48a(1/4246)-28a(1/39307)-8a(1/390112)., [5,13,17,29,97], 松元隆二, 2000.
6, 22946, 215, +364a(1/2)+21a(1/239)+12a(1/2855)+24a(1/58898)+44a(1/110443)+4a(1/4841182)., [5,13,37,229,1201], 松元隆二, 2014.
6, 24948, 209, +352a(1/2)+35a(1/41)+36a(1/463)+56a(1/4193)-14a(1/39307)+6a(1/390112)., [5,13,17,29,97], 松元隆二, 2000.
6, 23226, 199, +337a(1/2)+11a(1/463)+56a(1/4193)+35a(1/4246)-14a(1/39307)-4a(1/390112)., [5,13,17,29,97], 松元隆二, 2000.
6, 24060, 197, +334a(1/2)-11a(1/70)+54a(1/4193)+42a(1/4246)-19a(1/39307)-7a(1/390112)., [5,13,17,29,97], 松元隆二, 2000.
6, 17323, 177, +432a(1/3)+11a(1/239)-68a(1/4193)-48a(1/4246)+28a(1/39307)+8a(1/390112)., [5,13,17,29,97], 松元隆二, 2000.
6, 24017, 172, +291a(1/2)+11a(1/75)+51a(1/4193)+36a(1/4246)-10a(1/39307)-6a(1/390112)., [5,13,17,29,97],  松元隆二, 2000.

                       ---  omit. ---

-----------------------------------------------------

3.9. 整数の逆数以外を含む式(Arctan 項数 <= 4)

今まで掲載した公式はArctanの引数が整数の逆数のみですが、整数の逆数以外でも立式可能です。以下に整数の逆数以外が混在する公式のベスト10を挙げています。

既知の公式で,評価値nが小さいbest100個

評価値nは整数の逆数以外が混在する場合は再検討の余地がありますが[11]、以下の表では考慮していません。

以下のリストは項の数を限定していないため、行の先頭に項の数(t)を追加しています。しかしすべて4項式ですが。

(加筆2016/11/3)項数tを制限しない場合さらに評価値nが良い(速い)公式がありそうです[12]。暫定的に本表では項数4以下に限定しています。

履歴:

2015/1/14: 新規作成。

-----------------------------------------------------
t, n, K, (pi/4) * K =, [PrimeList], by, year[, memo].
-----------------------------------------------------
4, 3897, 1, +2690a(21025635306/74131715073913)+2441a(18413451386633/2086423476993591581)+1838a(4904321815307/8673008485629982251)-2009a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3897, 1, +2690a(2983710106787489/10501470120210335127)+2441a(18413451386633/2086423476993591581)-852a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3897, 1, +2690a(45608727/160844654564)+2441a(18413451386633/2086423476993591581)+1838a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(11852171/40536459497)-249a(18413451386633/2086423476993591581)+1838a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(21025635306/74131715073913)+2441a(4689032729/499320064735822)-603a(4904321815307/8673008485629982251)-2009a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(21025635306/74131715073913)+2441a(733140716248/77510562861687239)-603a(4904321815307/8673008485629982251)-4450a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(2983710106787489/10501470120210335127)+2441a(4689032729/499320064735822)-3293a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(45608727/160844654564)+2441a(4689032729/499320064735822)-603a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(45608727/160844654564)+2441a(733140716248/77510562861687239)-603a(4904321815307/8673008485629982251)-1760a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(6002361509/20484742216612)-249a(18413451386633/2086423476993591581)-852a(4904321815307/8673008485629982251)-2009a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.
4, 3902, 1, +2690a(62678/213955729)-249a(18413451386633/2086423476993591581)-852a(4904321815307/8673008485629982251)+681a(19005422517/280501013155091906)., [5,41,349], 松元隆二, 2015.

                       ---  omit. ---

-----------------------------------------------------

4. 参考文献

[1] 高野喜久雄: 「πのarctangent relations を求めて」, bit 1983年4月号.
[2] 猪口和則: 「πの公式をデザインする」, 新風舎, 1998, 1400円, ISBN4-7974-0493-0.
[3] 数学セミナー: 「エレガントな解答をもとむ」, 出題1998年3月号, 解答, 1998年6月号.
[4] Arctan relations for Pi,
http://www.jjj.de/arctan/arctanpage.html
(海外のArctan関係式のページです。探索方法と、代表的な公式の表が挙げてあります。)
[5] Joerg Arndt, 「Matters Computational」, pp.633-640.,第32.5章「Arctangent relations for π」,
http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook
[6] COMPUTING PI: LISTS OF MACHIN-TYPE (INVERSE COTANGENT)
IDENTITIES FOR PI/4,
http://www.machination.eclipse.co.uk/
(海外のArctan関係式のページです。探索方法と、多数の公式の表が挙げてあります。)
[7] 小林健太: 「円周率とarctan型公式」,
http://cm.hit-u.ac.jp/~kobayashi/topics/arctan.pdf
(Arctan関係式の探し方について述べられています。)
[8] 円周率.jp: 「2 項の arctan 公式が 4 種しかない証明」
http://円周率.jp/proof/atan2.html
(文献[3]で述べている内容にそった証明の解説が有ります)
[9] Machin-Like Formulas,
http://mathworld.wolfram.com/Machin-LikeFormulas.html
[10] 松元隆二(筆者)の趣味のページ,
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/syumi.html#pi
[11] Wikipedia, 「Machin-like formula」,
http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
[12] π/4の逆正接公式 (Machin-like formula),
http://www.geocities.jp/midarekazu/arctan.html
(清宮さんが発見した公式が多数掲載されています．
連鎖探索法による公式の探索方法が解説されています．)
[13] HOME PAGE by A-WADA,
http://www.mars.dti.ne.jp/~a-wada/index.html
(Arctan関係式の収集を行っている和田さんのホームページ。
掲示板(呟き)に新しく収集した公式の情報などを掲載されています。)

以上。 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.